二項分布
東京都知事選の歴代の当選者は，東京23区の各区において，それぞれの区の有権者数にほぼ比例する得票を得ていることを見てきた．今回は「２項分布の当てはめ」という観点から考えてみる．なお，前回までの分析も含め，すべて私の自己流であることをお断りしておく．
具体例から始めよう．右表は平成26年の各区の有権者数nと当選者（舛添氏）の得票xを示している．ｎとxが完全に比例しているなら，比 x/n は一定となる．この点を検討するため，23区全体の舛添氏の総得票数を，23区全体の有権者総数で除算した値p を求める．つまり，
p = (xの総和) / (nの総和)
である．総和とは23個の値をすべて足し合わせたという意味．この例ではp = 0.1981となった．つまり舛添氏は23区有権者数の19.8％の票を得ている．
（表はクリックすると拡大表示されます）
もし舛添氏の支持者が均等に分布しているなら，つまり支持者の比率が多い区と少ない区がなくて，どの区でも同じように得票すると仮定すれば，ある都民が舛添氏に投票する確率は（23区のどこにおいても） p = 0.1981 となる．舛添氏に投票しない（別の人に投票する，または棄権する）確率1-p は 0.8019だ．これをqとする．
q = 1-p
これは「二項分部」の話になる．大きな袋に赤い玉と白い玉が入っている．袋に手を突っ込んで玉を１つ取り出す．それが赤い玉である確率をp，白い玉である確率をqとする．同じ操作をn回くりかえしたとき，赤い玉にx回当たる確率は？ これが二項分布．
二項分布の平均値はnpで，分散はnpqだ．そして標準偏差（分散の平方根）はrt(npq)となる．「平方根をとる」という操作を，ワープロでは「平方根」の記号が書けないのでrt( ) と書いてみました．ここだけの用法です．
とりあえず実行したい作業は y = (x-np)/rt(npq) を計算すること．上表を左から右に１列ずつ追っていけば，計算のプロセスがわかると思う．まず有権者数nと舛添氏の得票xの「区部計」より，pとqの値を得る．あとは有権者数とpの積npを計算．さらにqを掛けてnpq，その平方根rt(npq) 等々．なお表の数値は小数点以下を書いてないので，計算がきっちり合わないのは四捨五入のせいです．
おおざっぱに言って，変数xが二項分布に従うとき，xから平均値を引いて，標準偏差で割った値，
y = (x-np) / rt(npq)
は，標準正規分布（平均値0で標準偏差1の正規分布）に従うはずだ．しかし計算されたyの数値（表の右端のコラム）を見れば，全く従ってないことがわかる．正の値と負の値があるが，いずれにせよ絶対値が大きすぎる．
正規分布では，変数が平均値から標準偏差の２倍以上離れた値をとる確率は約５％だ．「標準偏差の２倍」つまり「２シグマ」は，確率５％の限界値を見る簡便法だ（シグマとは標準偏差のこと）．
標準正規分布なら平均値0，標準偏差1だから，yが２より大きい，または-2より小さい値となる確率は5％．上の表のように37とか，-23などという値はあり得ない．だから舛添氏の得票率は，どの区も同じとは言えない．
右表は，歴代の当選者について，yの値を示している．舛添，猪瀬，石原氏の得票が多いのは江東区，墨田区，北区，文京区など．得票が少ないのは杉並区，中野区，渋谷区あたりだろうか．
年次を追ってみると，石原氏の得票パターンが，H11（平成11年）とH15の間で大きく変わっている．特に江東区は，H11では石原票が少なかったのに，H15では激増している．逆に世田谷区や杉並区ではH11では石原票が多かったのに，H15以降では少ない．
具体例から始めよう．右表は平成26年の各区の有権者数nと当選者（舛添氏）の得票xを示している．ｎとxが完全に比例しているなら，比 x/n は一定となる．この点を検討するため，23区全体の舛添氏の総得票数を，23区全体の有権者総数で除算した値p を求める．つまり，
p = (xの総和) / (nの総和)
である．総和とは23個の値をすべて足し合わせたという意味．この例ではp = 0.1981となった．つまり舛添氏は23区有権者数の19.8％の票を得ている．
（表はクリックすると拡大表示されます）
もし舛添氏の支持者が均等に分布しているなら，つまり支持者の比率が多い区と少ない区がなくて，どの区でも同じように得票すると仮定すれば，ある都民が舛添氏に投票する確率は（23区のどこにおいても） p = 0.1981 となる．舛添氏に投票しない（別の人に投票する，または棄権する）確率1-p は 0.8019だ．これをqとする．
q = 1-p
これは「二項分部」の話になる．大きな袋に赤い玉と白い玉が入っている．袋に手を突っ込んで玉を１つ取り出す．それが赤い玉である確率をp，白い玉である確率をqとする．同じ操作をn回くりかえしたとき，赤い玉にx回当たる確率は？ これが二項分布．
二項分布の平均値はnpで，分散はnpqだ．そして標準偏差（分散の平方根）はrt(npq)となる．「平方根をとる」という操作を，ワープロでは「平方根」の記号が書けないのでrt( ) と書いてみました．ここだけの用法です．
とりあえず実行したい作業は y = (x-np)/rt(npq) を計算すること．上表を左から右に１列ずつ追っていけば，計算のプロセスがわかると思う．まず有権者数nと舛添氏の得票xの「区部計」より，pとqの値を得る．あとは有権者数とpの積npを計算．さらにqを掛けてnpq，その平方根rt(npq) 等々．なお表の数値は小数点以下を書いてないので，計算がきっちり合わないのは四捨五入のせいです．
おおざっぱに言って，変数xが二項分布に従うとき，xから平均値を引いて，標準偏差で割った値，
y = (x-np) / rt(npq)
は，標準正規分布（平均値0で標準偏差1の正規分布）に従うはずだ．しかし計算されたyの数値（表の右端のコラム）を見れば，全く従ってないことがわかる．正の値と負の値があるが，いずれにせよ絶対値が大きすぎる．
正規分布では，変数が平均値から標準偏差の２倍以上離れた値をとる確率は約５％だ．「標準偏差の２倍」つまり「２シグマ」は，確率５％の限界値を見る簡便法だ（シグマとは標準偏差のこと）．
標準正規分布なら平均値0，標準偏差1だから，yが２より大きい，または-2より小さい値となる確率は5％．上の表のように37とか，-23などという値はあり得ない．だから舛添氏の得票率は，どの区も同じとは言えない．
右表は，歴代の当選者について，yの値を示している．舛添，猪瀬，石原氏の得票が多いのは江東区，墨田区，北区，文京区など．得票が少ないのは杉並区，中野区，渋谷区あたりだろうか．
年次を追ってみると，石原氏の得票パターンが，H11（平成11年）とH15の間で大きく変わっている．特に江東区は，H11では石原票が少なかったのに，H15では激増している．逆に世田谷区や杉並区ではH11では石原票が多かったのに，H15以降では少ない．
2014-05-24 07:00
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shira様，ハマコウ様，くらいふ様，nice!をありがとうございます．
by Ladybird (2014-06-11 09:20)
ご無沙汰してすみませんでした。
なんか面白い内容ですね。分析してみたい誘惑に駆られます。いつやるかは全然見通し立たないけど・・・
by アルバイシンの丘 (2014-10-08 23:50)
こちらこそ，ご無沙汰しています．
電力会社，政府，マスコミ．何もかも嘘と秘密ばかり．選挙結果でさえも操作されている可能性が否定できないのが現状のように思います．そういうモティベーションから，不完全ながらいろいろ分析を試みてみました．今後もよろしくお付き合い頂ければ幸いです．
by Ladybird (2014-10-09 09:44)
ayu様，nice!をありがとうございます．
by Ladybird (2014-10-31 02:32)